確率変数の期待値と分散の求め方

サイコロの期待値

\(\huge E(X) = \frac{1}{6}\times 1 + \frac{1}{6}\times 2 + \frac{1}{6}\times 3 + \frac{1}{6}\times 4 + \frac{1}{6}\times 5 + \frac{1}{6}\times 6\)

\(\huge = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} \)

\(\huge = 3.5 \)

分散とは

確率変数の分散の場合は、上の式を以下のような式で表すことができます。

\( \huge V(X) = E(X^2) – \{E(X)\}^2 \)

離散型確率変数Xの分散を求める式

\(\huge V(X) = \sum_{i=1}^{n}(x{_i}-\mu)^2p{_i} \)

もしくは

\( \huge V(X) = E((X – \mu)^2 ) \)

↑の \(\mu\)は \(\mu = E(X)\)

どちらの式もやっていることは以下の通り。

\( \huge p_{1}(x_{1} – \mu )^2 + p_{2}(x_{2} – \mu) … p_{n}(x_{n} – \mu)^2 \)

例）サイコロを1回投げたときの出目の分散

\( \huge V(X) = \frac{1}{6} \times (1-3.5)^2 + \frac{1}{6} \times (2-3.5)^2 + \frac{1}{6} \times (3-3.5)^2 + \frac{1}{6} \times (4-3.5)^2 + \frac{1}{6} \times (5-3.5)^2 + \frac{1}{6} \times (6-3.5)^2 \)

\( \huge = \frac{(1-3.5)^2 + (2-3.5)^2 + (3-3.5)^2 + (4-3.5)^2 + (5-3.5)^2 + (6-3.5)^2}{6} \)

\( \huge = \frac{35}{12} = 2.91 \)

確率変数の期待値と分散の公式

和の公式

\(\huge E[aX + b] = aE[X] + b \\ \huge V[aX + b] = a^2V[X]\)

差の公式

\( \huge E[X-Y] = E[X] – E[Y] \\ \huge V[X-Y] = V[X] + V[Y]-2Cov[X,Y] \)

例題

期待値が2、分散が10の確率変数Xを3倍して5を足した「3X+5」の期待値と分散として正しいものはどれか

期待値の求め方

\( E[3X+5] = 3E[X]+5 = 3 * 2 + 5 = 11 \)

分散の求め方

\( V[3X+5] = V[3X] = 3^2 * 10 = 90 \)

答え

期待値 11

分散 90